Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 17
Uma escada de está apoiada em uma parede e seu topo desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de , com que rapidez a base da escada estará se afastando da parede quando o topo estiver acima do chão?
Passo 1
Vamos analisar com calma o que está acontecendo:
A topo da escada irá deslizar para baixo, de forma que a base dela escorregue no chão se afastando da parede.
Então chamando de a distância da parede até a base da escada e de a distância do chão até o topo da escada, podemos pelo Teorema de Pitágoras que:
Passo 2
Pra relacionarmos as taxas com que e variam quando a escada é puxada podemos derivar essa expressão em relação ao tempo, fica assim ó:
Mas derivada de constante é zero, lembra? Então continuando masss sem esquecer a Regra da Cadeia:
Maneiroooo, achamos uma relação entre as taxas de variação de e .
Passo 3
Para gente descobrir a rapidez com que base da escada estará se afastando da parede, basta descobrirmos o naquele instante, concorda? Mas o que significam aqueles outros dados que o enunciado nos dá?
O topo deslizando sobre a parede a uma taxa de nos diz que:
Lembrando de atentar pro sinal negativo, pois se o topo está descendo, está diminuindo.
E além disso o topo da escada a acima do chão nos diz que .
Só que pra usarmos a expressão que encontramos ainda precisaríamos descobrir o nesse instante. Pra isso podemos usar o Teorema de Pitágoras com :
Passo 4
Showww, aí so precisamos substituir todos esses dados na expressão que encontramos ali em cima, ficamos com:
Então como tínhamos combinado, a rapidez com que a base da escada estará se afastando da parede é justamente o . Então encontramos nossa resposta 😊
PS: Perceba que encontramos um , o que faz bastante sentido, porque se a base está se afastando, está aumentando.