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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 20

Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r .

a) P = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   - 1 ,   1 )

b) P = ( 0 ,   0 ,   0 ) r contém A = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) e B = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

c) P = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) r :   x - 2 y + z = 0 2 x - 3 y + z - 1 = 0

Passo 1

Nesse exercício queremos achar o plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r . Nosso objetivo vai ser sempre encontrar o vetor diretor da reta pois ela será o vetor normal do plano

n → = ( a ,   b ,   c )

Conhecendo o vetor normal do plano, sua equação é dada por

a x + b y + c z + d = 0

No item (a), o vetor diretor da reta é ( 1 ,   - 1 ,   1 ) , de modo que

x - y + z + d = 0

Substituímos o ponto P = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) para achar d :

0 - 1 - 1 + d = 0 ⇒ d = 2

Assim, a equação do plano é

x - y + z + 2 = 0

Passo 2

No item (b), o vetor diretor da reta é dado por

u → = A B → = B - A = ( - 2 ,   2 ,   - 2 )

Por simplicidade, vamos usar

n → = ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Assim,

x - y + z + d = 0

Substituindo o ponto P = ( 0 ,   0 ,   0 ) :

0 - 0 + 0 + d = 0 ⇒ d = 0

Logo, a equação do plano é

x - y + z = 0

Passo 3

Por fim, no item (c), temos que achar dois pontos que pertençam a reta que foi dada na forma de um sistema:

x - 2 y + z = 0 2 x - 3 y + z - 1 = 0

Fazendo y = 0 , obtemos

x = z ⇒ 2 x + x - 1 = 0 ⇒ x = z = 1 3 ⇒ A = 1 3 ,   0 , 1 3

Já fazendo z = 0 :

x = 2 y ⇒ 2 ⋅ 2 y - 3 y - 1 = 0 ⇒ y = 1 ⇒ x = 2 ⇒ B = ( 2 ,   1 ,   0 )

Assim,

u → = A B → = B - A = 5 3 ,   1 ,   - 1 3 = 1 3 ( 5 ,   3 ,   - 1 )

Vamos usar

n → = ( 5 ,   3 ,   - 1 )

Portanto,

5 x + 3 y - z + d = 0

Substituindo o ponto ( 1 ,   1 ,   - 1 ) :

5 + 3 + 1 + d = 0 ⇒ d = - 8

Logo,

5 x + 3 y - z - 8 = 0

Resposta

x - y + z + 2 = 0

x - y + z = 0

5 x + 3 y - z - 8 = 0

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