Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 18
a) Prove que o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de , e é uma reta e obtenha uma equação vetorial para ela.
b) Mostre que a reta do item (a) é perpendicular ao plano .
Passo 1
Vamos fazer primeiro o item (a). Queremos achar um ponto que seja equidistante de , e . Para isso, devemos ter
Então,
Desenvolvendo as expressões:
Igualadando as expressões:
Simplificando os termos e que aparecem em todo mundo:
Podemos reescrever essa equação na forma de um sistema:
Trata-se de uma reta escrita na forma planar (intersecção de dois planos).
Passo 2
Para resolver o sistema, multiplicamos a primeira equação por e somamos com a segunda:
Assim,
Portanto, as soluções do sistema são todas do tipo
Assim, a equação pode ser escrita como
Trata-se de fato de um reta com vetor diretor
Passo 3
Agora no item (b) temos que provar que a reta é perpendicular ao plano . Para isso, basta provar que o vetor diretor da reta é ortogonal aos vetores e que estão no plano:
Fazendo os produtos escalares:
Assim, como é ortogonal aos vetores que geram o plano , ele é ortogonal a esse plano, de modo que a reta é perpendicular ao plano, como queríamos mostrar!