a) Prove que o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de A = ( 2 ,   1 ,   1 ) , B = ( - 1 ,   0 ,   1 ) e C = ( 0 ,   2 ,   1 ) é uma reta e obtenha uma equação vetorial para ela.

b) Mostre que a reta do item (a) é perpendicular ao plano A B C .

Passo 1

Vamos fazer primeiro o item (a). Queremos achar um ponto X = ( x ,   y ,   z ) que seja equidistante de A = ( 2 ,   1 ,   1 ) , B = ( - 1 ,   0 ,   1 ) e C = ( 0 ,   2 ,   1 ) . Para isso, devemos ter

A X → 2 = B X → 2 = C X → 2

Então,

A X → = X - A = x - 2 ,   y - 1 ,   z - 1 ⇒ A X → 2 = x - 2 2 + y - 1 2 + z - 1 2

B X → = X - B = x + 1 ,   y ,   z - 1 ⇒ B X → 2 = x + 1 2 + y 2 + z - 1 2

C X → = X - C = x ,   y - 2 ,   z - 1 ⇒ C X → 2 = x 2 + y - 2 2 + z - 1 2

Desenvolvendo as expressões:

A X → 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 2 z + 6

B X → 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 z + 2

C X → 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 4 y - 2 z + 5

Igualadando as expressões:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 2 z + 6 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 z + 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 4 y - 2 z + 5

Simplificando os termos x 2 + y 2 + z 2 e - 2 z que aparecem em todo mundo:

- 4 x - 2 y + 6 = 2 x + 2 = - 4 y + 5

Podemos reescrever essa equação na forma de um sistema:

- 4 x - 2 y + 6 = 2 x + 2 2 x + 2 = - 4 y + 5 ⇒ 6 x + 2 y = 4 2 x + 4 y = 3

Trata-se de uma reta escrita na forma planar (intersecção de dois planos).

Passo 2

Para resolver o sistema, multiplicamos a primeira equação por - 2 e somamos com a segunda:

- 12 x - 4 y + 2 x + 4 y = - 8 + 3 ⇒ - 10 x = - 5 ⇒ x = 1 2

Assim,

6 ⋅ 1 2 + 2 y = 4 ⇒ 3 + 2 y = 4 ⇒ y = 1 2

Portanto, as soluções do sistema são todas do tipo

X = 1 2 , 1 2 ,   λ ,           λ ∈ R

Assim, a equação pode ser escrita como

X = 1 2 , 1 2 ,   0 + λ   0 ,   0 ,   1

Trata-se de fato de um reta com vetor diretor u → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 3

Agora no item (b) temos que provar que a reta é perpendicular ao plano A B C . Para isso, basta provar que o vetor diretor da reta é ortogonal aos vetores   A B → e   A C → que estão no plano:

A B → = - 3 ,   - 1 ,   0           e           A C → = ( - 2 ,   1 ,   0 )

Fazendo os produtos escalares:

u → ⋅ A B → = 0 ,   0 ,   1 ⋅ - 3 ,   - 1 ,   0 = 0

u → ⋅ A C → = 0 ,   0 ,   1 ⋅ - 2 ,   1 ,   0 = 0

Assim, como u → é ortogonal aos vetores que geram o plano A B C , ele é ortogonal a esse plano, de modo que a reta é perpendicular ao plano, como queríamos mostrar!

Resposta

X = 1 2 , 1 2 ,   0 + λ   0 ,   0 ,   1

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