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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.8 - Ex. 4b

Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + sin t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 <= t <= 2 pi . Calcular:

(b) vec f (t) * vec g ( t )

Passo 1

Galera, vamos começar definindo quem é f ( t ) primeiro. Vamos substituir os valores de a e b :

f (t) = (vec i + vec j) t + (2 vec i - vec j) t^2

f (t) = (2 t^2 + t) vec i + (t - t^2) vec j + 0 vec k

Assim, vec f (t) * vec g ( t ) é igual a:

vec f (t) * vec g (t) = (2 t^2 + t) t + (t - t^2) sen t + ( 0 ) ( cos t )

vec f (t) * vec g (t) = 2 t^3 + t^2 t sen t - t^2 sen t

vec f (t) * vec g (t) = 2 t^3 + t^2 + (t - t^2) sen t

Resposta

O resultado é:

vec f (t) * vec g (t) = 2 t^3 + t^2 + (t - t^2) sen t

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Calcule a integralint_0^2 ( t i - t^3 j + 3 t^5 k ) d t
Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição r(t) estar sempre perpendicular ao vetor tangente r’(t) , mostre que essa curva está em uma esfera com o centro na origem.
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Encontre o ponto na curva de r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t ,e t , 0 ≤ t ≤ π , em que a reta tangente é paralela ao plano 3 x + y = 1 .