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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 49

Se r t ≠ 0 , mostre que

d d t r t = 1 r t r t ⋅ r ' ( t )

[Sugestão: r t 2 = r t ⋅ r ( t ) ] .

Passo 1

Eai pessoal!

Essa é uma questão de demonstração, então podemos usar a equação dada no enunciado e e deriva-la.

Ai sim, conseguimos mostrar o que foi pedido.

Let’s go?!

Passo 2

Sabemos que r t 2 = r t ⋅ r ( t ) . Substituindo na derivada temos

d d t r t = d d t   r t ⋅ r t 1 2

Utilizamos o teorema apresentado no capítulo e a regra da cadeira para o desenvolvimento.

d d t   r t ⋅ r t 1 2

= 1 2 r t ⋅ r t - 1 / 2 d d t r t ⋅ r t

Passo 3

Vamos utilizar a Fórmula 4 do Teorema 3 , sabemos a derivada de um produto vetorial. Logo

d d t = u t . v t = u ' t . v t + u t . v ' ( t )

Sendo assim

1 2 r t ⋅ r t - 1 / 2 d d t r t ⋅ r t

= 1 2 r t ⋅ r t - 1 / 2   [ 2 r t ⋅ r ' t ]

Simplificando a última expressão, obtemos

1 2 r t ⋅ r t - 1 2   2 r t ⋅ r ' t

Simplificando as constantes

= 2 2 1 r t ⋅ r t 1 2   r t ⋅ r ' t

= 1 r t ⋅ r t 1 2   [ r t ⋅ r ' ( t ) ]

Lembrando novamente que r t 2 = r t ⋅ r ( t ) , substituímos a expressão no denominador e obtemos:

d d t r t = 1 r t   [ r t ⋅ r ' ( t ) ]

Passo 4

Lembrando novamente que r t 2 = r t ⋅ r ( t ) , substituímos a expressão no denominador e obtemos:

1 r t ⋅ r t 1 2   r t ⋅ r ' t = 1 r t   [ r t ⋅ r ' ( t ) ]

Resposta

d d t r t = 1 r t   [ r t ⋅ r ' ( t ) ]

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45. Se u t = ( s e nt , cos ⁡ t ,t ) e v t = ( t , cos ⁡ t ,s e nt ) , use a Fórmula 4 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t ⋅ v t ]
Se u t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' t ] , mostre que u ' t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' ' t ]
Demonstre a fórmula 6 do Teorema 3.(d)/(d t) [u (f ( t ))] = f^' (t) u^' (f ( t ))
Determine uma expressão para d d t u t ⋅ ( v t × w t )
Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição r (t) esta sempre perpendicular ao vetor tangente r ' ( t ) , mostre que essa curva está em uma esfera com centro na origem.