Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 8   ∫ y 3 2 e x 4 d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até 2 , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = x 3 . Assim:

∫ 0 8   ∫ y 3 2 e x 4 d x d y = ∫ 0 2   ∫ 0 x 3 e x 4 d y d x

Passo 2

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 x 3 e x 4 d y = e x 4 y 0 x 3

∫ 0 x 3 e x 4 d y = x 3 e x 4

Portanto:

∫ 0 2   ∫ 0 x 3 e x 4 d y d x = ∫ 0 2   x 3 e x 4 d x

Vamos aplicar a integração por substituição:

Seja:

u = x 4  

d u = 4 x 3

Analisando os limites, temos:

x = 0 → u = 0

x = 2 → u = 16

Substituindo, temos:

∫ 0 2   x 3 e x 4 d x = ∫ 0 16   e u d u 4    

∫ 0 16   e u d u 4 = 1 4 e u 0 16

∫ 0 16   e u d u 4 = 1 4 e 16 - e 0

∫ 0 16   e u d u 4 = 1 4 e 16 - 1

A nossa resposta será:

∫ 0 2   ∫ 0 x 3 e x 4 d y d x = 1 4 e 16 - 1

Resposta

∫ 0 2   ∫ 0 x 3 e x 4 d y d x = 1 4 e 16 - 1

>Faltou mastigar o enunciado e definir melhor a estratégia de resolução.>Começar a resolver a questão, em si, somente no passo 2.>A segunda frase do passo 2 é que fala de esboçar a região, mas a figura não está aparecendo na content.. Talvez só tirar um print dela e colar esse print no lugar dela já resolva, mas vale deixar a Milena avisada desse problema.

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