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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 56

Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas

z = x 2 - y 2

Passo 1

Para passarmos a equação da superfície para corrdenadas cilindricas utilizamos:

x = r cos ⁡ θ

y = r s e n   θ  

z = z

Para passarmos a equação da superfície para corrdenadas esféricas utilizamos:

x = ρ cos ⁡ θ s e n   ϕ

y = ρ s e n   θ   s e n   ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Passo 2

(a) Substituindo x , y   e   z na equação retangular da superfície:

z = r 2 c o s 2 θ - r 2 s e n 2 θ

z = r 2 ( c o s 2 θ - s e n 2 θ )

Então a equação em coordenadas cilíndricas é:

z = r 2 cos ⁡ 2 θ

Passo 3

(b) Substituindo x , y   e   z na equação retangular da superfície:

ρ cos ⁡ ϕ = ρ 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2   ϕ - ρ 2 s e n 2 θ   s e n 2 ϕ

ρ cos ⁡ ϕ = ρ 2 s e n 2 ϕ ( cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ )

Então a equação em coordenadas cilíndricas é:

cos ⁡ ϕ = ρ   s e n 2 ϕ cos ⁡ 2 θ

Resposta

a) z = r 2 cos ⁡ 2 θ

b)   cos ⁡ ϕ = ρ   s e n 2 ϕ cos ⁡ 2 θ

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