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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 56

Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral.

56.

∬ D y   d A

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho?

A questão pede para escrevermos a integral como uma região de tipo I ou tipo II, e em seguida calculá-la.

Também nos deu uma figura que mostra a área que estamos calculando, e daí achar nossos limites de integração, belê?

∬ D y   d A

Passo 2

Vamos começar escolhendo nossa região.

Analisando a figura dada, percebe que no eixo y temos pontos bem definidos da nossa região?

Então vamos escolher, para facilitar nossa vida, essa região como do Tipo II.

Assim, teremos que fazer a integração na ordem d A = d x   d y .

Antes disso, vamos precisar quebrar a integral em duas partes, uma com

y ≤ 0

e outra com

y ≥ 0

Para a integral acima do eixo x , temos que x vai da curva y = x + 1 2 até x = y - y 3 .

Invertendo a primeira equação: x = - 1 + y .

Assim,

∫ 0 1 ∫ - 1 + y y - y 3 y   d x   d y

Já para a região abaixo do eixo x , x varia de x = - 1 até x = y - y 3 :

∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y 3 y   d x   d y

Assim, reunindo as regiões, faremos o cálculo dessa integral:

∬ D y   d A = ∫ 0 1 ∫ - 1 + y y - y 3 y   d x   d y + ∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y 3 y   d x   d y

Passo 3

Fazendo a mágica acontecer, vamos começar resolvendo primeiro a integral de dentro, em relação a x , em ambas as partes:

∬ D y   d A = ∫ 0 1 y   y - y 3 + 1 - y   d y + ∫ - 1 0 y   y - y 3 + 1   d y

Note que podemos juntar as partes dos integrandos que são iguais em uma integral só:

∬ D y   d A = ∫ - 1 1 y 2 - y 4 + y   d y - ∫ 0 1 y 3 2   d y

Como y é ímpar e y 2 e y 4 são pares, temos que:

∬ D y   d A = 2 ∫ 0 1 y 2 - y 4   d y - ∫ 0 1 y 3 2   d y

∫ 0 1 2 y 2 - 2 y 4 - y 3 2   d y

Portanto, resolvendo em relação a y , teremos

∬ D y   d A = 2 y 3 3 - 2 y 5 5 - 2 5 y 5 2 0 1

= 2 3 - 2 5 - 2 5 = - 2 15

Show? 😉

Resposta

- 2 15

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Encontre o volume sob o paraboloide z = x 2 + y 2 acima do triangulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.
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