Mostre que o triângulo formado por qualquer reta tangente ao gráfico de y = 1 / x, x > 0 , e pelos eixos coordenados tem uma área de 2 unidades quadradas.

Passo 1

E aí, tudo bem?

A gente vai precisar saber da altura e da base desse triângulo. Pra isso a gente vai começar pela reta tangente.

Vamos começar chamando o ponto de tangência de x 0 ,   y 0 .

Precisamos derivar a função:

y ' =   - 1 x 2

Passo 2

E aí a reta tangente no nosso ponto x 0 ,   y 0 é:

y - y 0 =   - 1 x 0 2 x - x 0

Sendo que y 0 = 1 x 0 , porque esse ponto pertence à curva...

y - 1 x 0 =   - x x 0 2 + 1 x 0

y =   - x x 0 2 + 2 x 0

Essa é a reta tangente!

Passo 3

Agora vamos lá: onde essa reta tangente intersecta os eixos x   e   y ?

  • Eixo x   (onde y = 0 ) :   x = 2 x 0
  • Eixo y (onde x = 0 ) : y = 2 x 0

Então olha só...

Nosso triângulo tá formado. Temos uma base de 2 x 0 e uma altura de 2 x 0 .

Daí a gente calcula a área:

A = 1 2 2 x 0 ⋅ 2 x 0

A = 1 2 4

A = 2

E aí provamos que a área é sempre 2 unidades quadradas😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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