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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 3

Calcule a integral iterada.

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo de boa?

Nesse exercício, iremos calcular a seguinte integral:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z

Nas integrais triplas cada uma das integrais é calculada em relação a uma variável e a ordem de integração segue a sequência “de dentro pra fora”. Cada integral interna é calculada primeiro, e em seguida a integral “do meio”, até a integral mais externa. Esse processo vai resultar num valor que vai ser o valor de toda a integral tripla.

Vem ver o passo a passo!

Passo 2

Começaremos o exercício calculando a integral em função de x , já que é a integral “de dentro”. Aqui todas as demais variáveis são tratadas como constante:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 z 2 x 2 - x y x = 0 x = y - z d y d z

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 2 ∫ 0 z 2 y - z 2 - y - z y d y d z

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 z 2 - y z d y d z

Passo 3

Agora podemos calcular a integral em função de y . Aqui todas as demais variáveis são tratadas como constante:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 z 2 - y z d y d z = ∫ 0 2 y z 2 - 1 2 y 2 z y = 0 y = z 2 d z

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 2 z 4 - 1 2 z 5 d z

Passo 4

E por fim, podemos resolver a integral em função de z :

∫ 0 2 z 4 - 1 2 z 5 d z = 1 5 z 5 - 1 12 z 6 0 2

Aplicando os limites de integração:

1 5 z 5 - 1 12 z 6 0 2 = 32 5 - 64 12

E, dessa forma o valor da integral é:

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = 16 15

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y - z 2 x - y d x d y d z = 16 15

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