Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 56
Esfera e cilindro Encontre o volume da região que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 2 e fora do cilindro x2 + y2 = 1.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Temos uma região definida fechada e limitada no espaço. Nosso objetivo é calcular o volume da região que está localizada dentro da esfera com equação e fora do cilindro de equação .
Passo 2
Como já sabemos o volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral:
Precisamos primeiro integrar em relação a , seguido de e por fim em relação a .
Passo 3
Sabemos também que e são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.
Agora podemos definir os limitantes. Sabemos que e representa o raio de um círculo.Como
Em z teremos:
E por fim:
Passo 4
Logo, com os limitantes definidos, podemos calcular o volume pedido:
Resposta
Por fim, concluímos que a região dentro da esfera e fora dos cilindros tem um volume de