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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 49

Esfera e cones Encontre o volume da porção da esfera sólida

r ≤ a que está entre os cones f = p/3 e f = 2p/3.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Temos uma região definida D fechada e limitada no espaço. Nosso propósito é encontrar o volume da porção da esfera sólida de raio ρ ≤ a que está entre os cones com ângulos ϕ = π 3 e ϕ = 2 π 3

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas esféricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( ρ , ϕ , θ ) d V

Onde d V = ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ Vamos primeiro integrar em relação a ρ , seguido de ? e por fim em relação a θ .Sabemos também que ρ é a distância até a origem, neste caso, o raio da esfera, ? é o ângulo com relação ao eixo z e θ é o ângulo das coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Dessa maneira podemos definir os limitantes da integral.Sabemos que o ângulo ? está entre os cones.

π 3 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

Como ρ ≤ a , o intervalo pode ser dado por:

0 ≤ ρ ≤ a

E a esfera abrange todo o plano x y , logo, teremos 0 ângulo θ :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Então podemos escrever a integral do volume da seguinte maneira:

V   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 2 π / 3     ∫ 0 a     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 2 π / 3     a 3 3 s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = a 3 3 ∫ 0 2 π     [ - c o s ⁡ ϕ ] π / 3 2 π / 3 d θ   = a 3 3 ∫ 0 2 π     1 2 + 1 2 d θ   = 2 π a 3 3

Resposta

Portanto, o resultado correto deste exercício é um volume igual a 2 π a 3 3 (unidades de volume).

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