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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 61

Cilindro e esfera Encontre o volume da região cortada do

cilindro sólido x2 + y2 ≤ 1 pela esfera x2 + y2 + z2 = 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, vamos encontrar o volume de regiões D definidas pelo cálculo da integral tripla com superfícies delimitantes diversas.

Passo 2

Como sabemos o volume de uma região de um cilindro sólido com equação x 2 + y 2 ≤ 1 é cortado pela esfera definida por x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Também temos os dados que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.

Passo 3

Os limitantes podem ser definidos da seguinte maneira:Como o cilindro possui equação x 2 + y 2 ≤ 1 , o intervalo de r é dado por:

0 ≤ r ≤ 1

Para z teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 z 2 = 4 - r 2

Dessa maneira:

0 ≤ z ≤ 4 - r 2

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Agora podemos escrever a integral tripla que representa o volume da região:

V   = 4 ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ 0 4 - r 2     d z r d r d θ   = 8 ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     r 4 - r 2 1 / 2 d r d θ   = 8 ∫ 0 2 π     - 1 3 4 - r 2 3 / 2 0 1 d θ   = - 8 3 ∫ 0 2 π     3 3 / 2 - 8 d θ   = 4 π ( 8 - 3 3 ) 3

Resposta

Portanto, como resposta correta, temos um volume de 32 π unidades de volume.

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