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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 41

Seja D a calota menor cortada de uma esfera sólida de raio de

2 unidades por um plano a uma distância de 1 unidade do centro da esfera. Expresse o volume de D como uma integral tripla

iterada em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) retangulares. Em seguida, (d) encontre o volume, calculando uma

das três integrais triplas.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja D a caixa baixa cortada a partir da bola sólida de raio 2 unidades por um plano 1 unidade em relação ao centro da esfera. Expressaremos o volume D como uma integral iterada ema. Coordenadas esféricas;b. Coordenadas cilíndricas;c. Coordenadas retangulares;d. Encontraremos o volume resolvendo uma das integrais.

Passo 2

a. Com o uso da tabela, em coordenadas esféricas, a integral que representa o volume pedido é:Resposta: V = ∫ 0 2 π   ∫ 0 π / 3   ∫ 0 2   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

b. Com o uso da tabela, em coordenadas cilindricas, a integral que representa o volume pedido é:Resposta: V = ∫ 0 2 π   ∫ 0 3   ∫ 1 4 - r 2   d z r d r d θ

Passo 4

c. Com o uso da tabela, em coordenadas retangulares, a integral que representa o volume pedido é:Resposta: V = ∫ - 3 3   ∫ - 3 - x 2 3 - x 2   ∫ 1 4 - x 2 - y 2   d z d y d x

Passo 5

d. Resolveremos a equação V = ∫ 0 2 π   ∫ 0 3   ∫ 1 4 - r 2   d z r d r d θ para encontrarmos o volume pedido:

V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 3     ∫ 1 4 - r 2     d z r d r d θ V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 3     r 4 - r 2 1 / 2 - r d r d θ V = ∫ 0 2 π     - 4 - r 2 3 / 2 3 - r 2 2 0 3 d θ V = ∫ 0 2 π     - 1 3 - 3 2 + 4 3 / 2 3 d θ V = 5 6 ∫ 0 2 π     d θ V = 5 π 3

Resposta: o volume é V = 5 π 3 .

Resposta

Resposta nos passos.

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