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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 45

Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Os dados são os seguintes:

Passo 2

Em primeiro lugar, observe as equações que delimitam o sólido, dadas por:

z = 3 c o s ⁡ θ  e  z = - y

Passo 3

Então, vamos resolver este problema em coordenadas cilíndricas.

d V = r d z d r d θ

Passo 4

Perceba que a análise da figura proposta no exercício é elucidativa dos extremos de integração.45.Então, vamos determinar o volume por integração tripla:

V = ∫ 3 π 2 2 π     ∫ 0 3 c o s ⁡ θ - r s e n ⁡ θ     ∫ 0 2 π     d z r d r d θ = ∫ 3 π 2 2 c o s ⁡ θ     ∫ 0 - r s e n ⁡ θ     [ z ] r r d r d θ V = ∫ 3 π 2 2 π 3 c o s ⁡ θ     ∫ 0 2 π     [ ( - r s e n ⁡ θ ) - ( 0 ) ] d r d θ = ∫ 3 π 2 2 c o s ⁡ θ     ∫ 0 2     - r 2 s e n ⁡ θ d r d θ V = ∫ 3 π 2 π     - 9 c o s 3 ⁡ θ s e n ⁡ θ d θ = 9 / 4 [ c o s ⁡ θ ] 3 π 2 2 π V = 9 4 - 0 = 9 4

Veja que foi utilizado em c o s 3 ⁡ θ s e n ⁡ θ a seguinte troca de variáveis:

u = c o s ⁡ θ d u - s e n ⁡ θ d θ

Resposta

Assim, chegamos ao resultado de que o volume é igual a 9 4 .

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