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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 57

Cilindro e planos Encontre o volume da região delimitada

pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos z = 0 e y + z = 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Temos uma região definida D fechada e limitada no espaço. Vamos calcular o volume desta região com uma integral tripla, realizando três integrações repetidas. Neste caso temos uma região delimitada por um cilindro de equação x 2 + y 2 = 4 e dois planos de equações z = 0 e y + z = 4 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

Precisamos primeiro integrar em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Passo 3

Sabemos também que r e θ são projeções no plano x y e zé a coordenada vertical cartesiana.

Agora podemos definir os limitantes. Sabemos que: o eixo z é definido pelos planos, que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo, logo o ângulo varre toda a superfície do círculo.Dessa maneira os limitantes da integral são:

0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ z ≤ 4 - r s e n ⁡ θ

Passo 4

Portanto, substituindo as funções na integral, a equação que representa o volume é:

V   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     ∫ 0 4 - r s e n ⁡ θ     d z r d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     4 r - r 2 s e n ⁡ θ d r d θ   = 8 ∫ 0 2 π     1 - s e n ⁡ θ 3 d θ   = 16 π

Resposta

Concluímos neste exercício que o volume da região D é 16 π unidades de volume.

Exercícios de Livros Relacionados

int_0^(2 pi) int_0^1 int_r^(sqrt(2 - r^2)) d z r d r d theta
Seja D a região delimitada abaixo pelo plano z = 0 , acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e dos lados pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que fornecem
int_0^2 int_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) int_0^(2 pi) (r s e n (theta) + 1) r d theta d z d r
int_0^(2 pi) int_0^(pi) int_0^(((1 - cos (varphi))/(2))) rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta
Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.O sólido entre a esfera r=c o s ⁡ ( ϕ ) e