Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 20
Encontre a função tal que e .
Passo 1
Primeiro, vamos escrever como , e como , assim fica mais fácil de enxergar as coisas. Ficamos então com a seguinte equação:
Mano, que lindo! Às vezes, tudo é apenas uma questão de reescrever as coisas de um outro jeito.
No final das contas, o que o exercício pede é que resolvamos essa equação diferencial.
Passo 2
Galera, se a gente conseguir colocar tudo que tem a ver com de um lado da equação, e tudo que tem a ver com do outro lado, então a gente tem uma equação separável. Vamo tentar?
Conseguimos! Agora bora integrar cada lado, e não vamos esquecer da constante!
De cara, a gente já sabe que a integral da direita vale:
Mas a integral da esquerda vai nos dar um pouco mais de trabalho.
Passo 3
Agora vamos nos concentrar nesta integral:
Não seria muito mais fácil se só tivéssemos que integrar coisas do tipo:
E é exatamente o que vamos fazer! Lembra lá do Cálculo , quando a gente fazia uma decomposição em frações parciais? Aqui basta achar as constantes e que satisfaçam:
Como os denominadores já são iguais, basta trabalhar com os numeradores:
De onde tiramos que:
Então resolvemos nossa integral tranquilamente:
Passo 4
Agora que já temos todos os valores das integrais, voltamos à nossa equação:
Pra descobrir a constante , voltamos ao enunciado e vemos que , ou seja, quando , teremos . Então substituímos esses valores na equação:
Nossa equação fica assim por enquanto:
Passo 5
Encontramos a equação no passo anterior, mas ainda precisamos isolar , pois nosso objetivo final é escrever a função .
Para isso, vamos usar a propriedade de subtração de logaritmos:
Agora preste bastante atenção na manipulação de sinais quando multiplicamos cruzado:
Mas repara o seguinte: se substituirmos na segunda expressão, o denominador dá zero, então a fração fica indefinida (lembre-se que isso não é limite).
Mas se fizermos o mesmo com a primeira expressão, resulta em , que é justamente o que a nossa função satisfaz. Então ficamos com:
Voltando para a notação do enunciado:
Ótimo! Matamos mais uma questão!