Encontre a função tal que e .

Galera, se a gente conseguir colocar tudo que tem a ver com de um lado da equação, e tudo que tem a ver com do outro lado, então a gente tem uma equação separável. Vamo tentar?

Conseguimos! Agora bora integrar cada lado, e não vamos esquecer da constante!

De cara, a gente já sabe que a integral da direita vale:

Mas a integral da esquerda vai nos dar um pouco mais de trabalho.

Agora vamos nos concentrar nesta integral:

Não seria muito mais fácil se só tivéssemos que integrar coisas do tipo:

E é exatamente o que vamos fazer! Lembra lá do Cálculo , quando a gente fazia uma decomposição em frações parciais? Aqui basta achar as constantes e que satisfaçam:

Como os denominadores já são iguais, basta trabalhar com os numeradores:

De onde tiramos que:

Então resolvemos nossa integral tranquilamente:

Agora que já temos todos os valores das integrais, voltamos à nossa equação:

Pra descobrir a constante , voltamos ao enunciado e vemos que , ou seja, quando , teremos . Então substituímos esses valores na equação:

Nossa equação fica assim por enquanto:

Encontramos a equação no passo anterior, mas ainda precisamos isolar , pois nosso objetivo final é escrever a função .

Para isso, vamos usar a propriedade de subtração de logaritmos:

Agora preste bastante atenção na manipulação de sinais quando multiplicamos cruzado:

Mas repara o seguinte: se substituirmos na segunda expressão, o denominador dá zero, então a fração fica indefinida (lembre-se que isso não é limite).

Mas se fizermos o mesmo com a primeira expressão, resulta em , que é justamente o que a nossa função satisfaz. Então ficamos com:

Voltando para a notação do enunciado:

Ótimo! Matamos mais uma questão!