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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 12

Verifique que a mudança de variável u = y x transforma a equação d y d x = y x + y na de variáveis separáveis d u d x = - u 2 1 + u x . Determine, então, soluções (na forma implícita) da equação d y d x = y x + y

Passo 1

Primeiro vamos fazer o seguinte:

d y d x = y x + y → d y d x = 1 x 1 x × y x + y

Vamos ficar com:

d y d x = y x x + y x = y x 1 + y x

Passo 2

Se sabemos que u = y x → y = x u , assim:

d y d x = y x 1 + y x → d u x d x = u 1 + u

Para d u x d x , vamos aplicar a derivada do produto:

d u x d x = x d u d x + u

Substituindo:

d u x d x = u 1 + u → x d u d x + u = u 1 + u

Passo 3

Agora é só álbebra:

x d u d x + u = u 1 + u

x d u d x = u 1 + u - u

x d u d x = u 1 + u - u 1 + u 1 + u =

= u - u - u 2 1 + u = - u 2 1 + u

x d u d x = - u 2 1 + u

Agora é só jogar o x   pro outro lado dividindo:

d u d x = - u 2 x 1 + u

Passo 4

Essa equação parece mais propícia pra integrar do que a inicial que tinha soma de variáveis diferentes, agora que temos multiplicações entre diferentes variáveis vamos fazer assim:

d u d x = - u 2 x 1 + u

Jogamos pra cada lado o que é referente a cada variável:

- 1 + u u 2 d u = d x x

Agora é só integrar:

∫ - 1 + u u 2 d u = ∫ d x x

- ∫ 1 u 2 d u + ∫ u u 2 d u = ∫ d x x

- ∫ 1 u 2 d u - ∫ 1 u d u = ∫ d x x

- u - 1 - 1 - ln ⁡ u + c 1 = ln ⁡ x + c 2

1 u - ln ⁡ u + c = ln ⁡ x ,   t a l   q u e   c = c 1 - c 2

1 u = ln ⁡ x + ln ⁡ u + ln ⁡ k

Nesse caso c = ln ⁡ k , só por conveniência, já que c é uma constante qualquer não faz diferença e podemos jogar pra dentro do logaritmo:

1 u = ln ⁡ x u k

Voltando pra variável y :

x y = ln ⁡ x u k = ln ⁡ k x y x = ln ⁡ k y

Como k é uma contante podemos jogar pra fora do logaritmo:

x y = ln ⁡ k y

Resposta

x y = ln ⁡ k y

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