Suponha que V = V p ,   p > 0 , satisfaça a equação d V d p = - V γ p γ   c o n s t a n t e . Admitindo que V = V 1 ,   V 1 > 0 , para p = p 1 , mostre que V γ p = V 1 γ p 1 , para todo p > 0

Passo 1

Precisamos apenas colocar o que é da mesma variável dos dois lados, nesse caso:

γ d V V = - d p p

Agora podemos integrar:

∫ γ d V V = ∫ - d p p

Passo 2

Agora podemos integrar:

γ ∫ d V V = - ∫ d p p

γ ln ⁡ V + c 1 = - ln ⁡ p + c 2

Sendo que vamos considerar c 1 = c 2 = 0

γ ln ⁡ V = - ln ⁡ p

ln ⁡ V γ = ln ⁡ p - 1

V γ = p - 1

V γ p = 1

Assim estabelecemos uma relação entre V   e   p :

V γ = 1 p

Ou seja para um dado γ , sempre teremos a relação acima e por consequência, para o mesmo γ , para qualquer V   que pegarmos haverá um p   que obedeça a essa regra

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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y' = (x^2) / y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b
Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0,1 ) e cuja inclinação em ( x , y ) seja x y .
Resolva o problema de valor inicial y' = sen(x) / sen(y), y(0) = pi / 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
y' = 1 / y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) Re
Resolva a equação y' = x / raiz(x^2 + 1) * e^y e trace vários membros da família de soluções (se seu SCA fizer gráficos implícitos). Como muda a curva solução quando a constante C varia?