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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 7

Determine a curva que passa por 1,2 e cuja reta tangente x , y intercepta o eixo x no ponto de abcissa x 2 .

Passo 1

Pra começar precisamos saber o que significa cada coisa.

Primerio, como eu acho uma reta tangente?

Bem a reta tangente de uma função de apenas 1 variável é escrita assim:

a x - x 0 + y 0 = y

Sendo a o coeficiente angular e sendo que:

a = y - y 0 x - x 0 = ∆ y ∆ x

Porém, se usar variações de x   e   y , infinitesimais teremos:

a = d y d x

Beleza, mas a questão diz que ela intercepta o eixo x em dado ponto, sabemos que existe um ponto qualquer x , y tal que uma reta vai interceptar o eixo x .

Esse ponto é quando y = 0

Passo 2

Ele fala que quando a reta tangente intercepta o gráfico a abcissa é x 2 , ou seja, esse x arbitrário é igual a x 2 .

x a = x 2   e   y a = 0

Daí podemos substituir na função da tangente e vermos o que dá:

Passo 3

a x - x 0 + y 0 = y

Substituindo:

d y d x x - x 2 + 0 = y

x 2 d y d x = y → d y y = 2 d x x

d y y = 2 d x x

E agora integrar:

∫ d y y = ∫ 2 d x x

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ | x | + c

ln ⁡ y - 2 ln ⁡ x = c

ln ⁡ y x 2 = c  

y x 2 = e c

y = x 2 e c  

Passo 4

Por fim queremos achar o valor pra c, como nos foi dado f 1 = 2 , podemos encontrar:

y = x 2 e c → 2 = 1 e c → ln ⁡ 2 = c

Assim:

y = x 2 e ln ⁡ 2 = 2 x 2

y = 2 x 2  

Resposta

y = 2 x 2  

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