O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abcissa x , ao gráfico de y = f x , é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que f 0 = 1ef 1 = 1 2 , determine f .

Enunciado

Pra começar precisamos saber o que significa cada coisa.

Primeiro, que raios é o coeficiente angular da reta tangente?

Bem oda reta tangente de uma função de apenas 1 variável é escrita assim:

Sendo o coeficiente angular e sendo que:

Porém, se usar variações de , infinitesimais teremos:

Ótimo!

Como ele diz que o é a abcissa, e então a ordenada tem que ser , que é igual

Assim sendo podemos escrever a seguinte relação:

Já que ele diz que é proporcional a , porém se é proporcional devemos acrescentar uma constante de proporcionalidade que vou chamar de , então:

Agora que temos a relação só precisamos colocar de cada lado o que tiver a mesma variável:

Integrando:

Se chamarmos

E lembrando que , então, quando , por consequência:

E quando , por consequência:

Agora temos duas relações e duas incógnitas, assim sendo conseguimos achar os valores das duas fazendo um sistema linear:

Então:

Assim:

Ótimo, podemos agora montar a equação:

Queremos achar , por isso vamos elevar ambos os lados por :

Ei, a resposta está no passo a passo :)