Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 4
O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abcissa , ao gráfico de , é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que , determine .
Passo 1
Pra começar precisamos saber o que significa cada coisa.
Primeiro, que raios é o coeficiente angular da reta tangente?
Bem oda reta tangente de uma função de apenas 1 variável é escrita assim:
Sendo o coeficiente angular e sendo que:
Porém, se usar variações de , infinitesimais teremos:
Ótimo!
Como ele diz que o é a abcissa, e então a ordenada tem que ser , que é igual
Assim sendo podemos escrever a seguinte relação:
Já que ele diz que é proporcional a , porém se é proporcional devemos acrescentar uma constante de proporcionalidade que vou chamar de , então:
Passo 2
Agora que temos a relação só precisamos colocar de cada lado o que tiver a mesma variável:
Integrando:
Se chamarmos
E lembrando que , então, quando , por consequência:
E quando , por consequência:
Passo 3
Agora temos duas relações e duas incógnitas, assim sendo conseguimos achar os valores das duas fazendo um sistema linear:
Então:
Assim:
Ótimo, podemos agora montar a equação:
Queremos achar , por isso vamos elevar ambos os lados por :
Passo 4
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)