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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 50

Esfera e semiplanos Encontre o volume da região cortada

da esfera sólida r ≤ a e pelos semiplanos u = 0 e u = p/6 no

primeiro octante.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que a região definida D é fechada e limitada no espaço. Nosso objetivo é encontrar o volume da região da esfera sólida ρ ≤ a cortada pelos semiplanos θ = 0 e θ = π 6 localizados no primeiro octante.

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas esféricas é dado pela integral:

V = ∭ D   f ( ρ , ϕ , θ ) d V

Onde d V = ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ Vamos primeiro integrar em relação a ρ , seguido de ? e por fim em relação a θ .Sabemos também que ρ é a distância até a origem, ? é o ângulo com relação ao eixo z e θ é o ângulo das coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Dessa maneira podemos definir os limitantes da integral.Sabemos que o ângulo ? está no primeiro octante.

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Como ρ ≤ a :

0 ≤ ρ ≤ a

E com os semiplanos cortantes, teremos o ângulo θ :

0 ≤ θ ≤ π 6

Passo 4

Então podemos escrever a integral do volume da seguinte maneira:

V   = ∫ 0 π / 6     ∫ 0 π / 2     ∫ 0 a     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = a 3 3 ∫ 0 π / 6     ∫ 0 π / 2     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = a 3 3 ∫ 0 π / 6     d θ   = a 3 π 18

Resposta

Portanto, o resultado correto deste exercício é um volume igual a a 3 π 18 (unidades de volume).

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Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x d x d y d z Onde W = x ,y ,z ∈ R 3|4 ≤ x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 9 ,x ≥ 0 ,z ≥ 0
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 d x d y d z Onde W é a região dada por: i )W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 i i )
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2 Onde W é o sólido definido por: W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 y ,z ≤ x 2 +