Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 63
Encontre o valor médio da função ƒ(r, u, z) = r sobre a região
delimitada pelo cilindro r = 1 entre os planos z = –1 e z = 1
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício nosso objetivo é calcular o valor médio de uma função no espaço sobre uma região D. Já sabemos calcular valores médios para coordenadas cartesianas, certo? Agora vamos nos basear nessa ideia e calcular o valor em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Sabemos que a função é descrita por sobre a região limitada pelo cilindro de equação , bem como entre os planos e .A integral que descreve o valor médio de sobre é dada por:
Passo 3
Neste passo precisamos definir os limitantes da integral.O intervalo de é definido pela equação do cilindro, logo:
Para teremos o intervalo definido pelos planos, então:
Por fim, teremos o ângulo com o intervalo:
Passo 4
Vamos agora encontrar o valor médio da função sobre a região . Substituindo os valores chegamos no resultado:
Resposta
Portanto, como resposta correta, temos que o valor médio da função é igual a .