Estabeleça o fato, amplamente utilizado na hidrodinâmica, de que, se f(x, y, z) = 0 , então

( ∂x / ∂y )_z ( ∂y / ∂z )_x ( ∂z / ∂x )_y = -1.

(Sugestão: expresse todas as derivadas nos termos das derivadas parciais formais ∂f/∂x, ∂f/∂y e ∂f/∂z .)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, estabeleceremos o fato que se f ( x , y , z ) = 0 , então ∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x ∂ z ∂ x y = - 1 Acompanhe!

Passo 2

Se x é uma função diferenciável de y e z , então f ( x , y , z ) = 0 pode ser diferenciada da seguinte forma:

∂ f ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ x = 0 .

Passo 3

Sendo, então reduzida a:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ x = 0

Levando à seguinte resposta:

∂ x ∂ y z = - ∂ f / ∂ y ∂ f / ∂ z

De maneira similar, se y é diferenciável em função de x e z , então:

∂ y ∂ z x = - ∂ f / ∂ z ∂ f / ∂ x

Passo 4

  Step   5  of  5  人 

E se z é diferenciável em função de x e y , temos também:

∂ z ∂ x y = - ∂ f / ∂ x ∂ f / ∂ y

Portanto, a resposta do nosso exercício: ∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x ∂ z ∂ x y vale então:

∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x ∂ z ∂ x y = - ∂ f / ∂ y ∂ f / ∂ z - ∂ f / ∂ z ∂ f / ∂ x - ∂ f / ∂ x ∂ f / ∂ y = - 1 ,  como o enunciado pede. 

Resposta

Resposta nos passos.

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