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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 23d

Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: g ∘ g

f x = x - 5 ; g x = x 2 - 1

Passo 1

Pra fazer a composição de duas funções não tem stress, é só seguir um passo a passo na tranquilidade:

  1. Identificar a composição que deve ser feita.
  2. Aplicar a função de “fora” na função de “dentro”. E temos a nossa função composta!
  3. Analisar o domínio considerando as raízes, os logaritmos, os quocientes, coisas desse tipo que possam restringir o nosso domínio.

A questão nos pede g ∘ g , que por definição é o mesmo que g ( g x ) . Daí já sabemos que g é a nossa função de fora e a de dentro também!

Passo 2

Vamos reescrever g ( g x ) como:

g x 2 - 1

Agora vamos substituir o x da g por x 2 - 1 :

x 2 - 1 2 - 1

( ( x 2 ) 2 - 2 ∙ 1 ∙ x 2 + 1 2 ) - 1

x 4 - 2 x 2 + 1 - 1

Ficamos com a nossa g g x :

x 4 - 2 x 2

Passo 3

Temos um polinômio do 4º grau! Nada de raiz, nada de quociente de x ... então nossa função composta esta definida para todos os reais!

Resposta

x 4 - 2 x 2

( - ∞ , + ∞ )

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Verifique que I mf⊂ D g e determine a composta h x = g f x . g x = 3 x + 1 e f x = x + 2
Verifique que I mf⊂ D g e determine a composta h x = g f x . g x = x + 1 x - 2 e f x = 2 x + 1 x - 1
Verifique que I mf⊂ D g e determine a composta h x = g f x . g x = - x 2 + 3 x + 1 e f x = 2 x - 3
Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e g f f x = x e g x = x 2 - 1
Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e g f f x = 1 e g x = x - 1