Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 59
a. Utilize a série binomial e o fato de que
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para . Qual é o raio de convergência?
b. Série para Utilize seu resultado no item (a) para encontrar os cinco primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para .
Passo 1
E aí, galera! Tudo bem? Vem comigo, vamos detonar mais uma questão!
a. O enunciado pede para a gente usar o seguinte resultado
e o motivo disso é que, se a gente integrar dos dois lados, vamos ter
Ou seja, podemos expressar a série do arco seno em termos da integração da série binomial. Só precisamos determinar a série e integrar.
Passo 2
Usando a série binomial para , temos
Agora, trocando por , ficamos com
Passo 3
Por último, mas não menos importante, integramos de a :
Voltando para , e lembrando que a questão só pede os quatro primeiros termos, temos
Passo 4
Olhando bem para a série de , vemos que ela pode ser escrita como
então, enésimo termo tem a forma:
Então, para ter o raio de convergência, temos que tomar o limite
Como
então,
Precisamos que o limite para que a série seja convergente, ou seja, . Logo, o raio de convergência é .
Passo 5
b. Nesse item, temos que encontrar os cinco primeiros termos de a partir dos resultados do item a. Para isso, precisamos de uma relação trigonometria relacionando e , que vai ser
Assim, passando para o lado direito da equação e usando a série que nós encontramos no item a, ficamos com
Ufa! Essa questão foi longa, não é? Eu vou descansar um pouco e te vejo na próxima!
Resposta
a. , raio de convergência: .
b.