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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 24

Estime o erro se c o s sqrt(t) é aproximado por 1 - (t)/(2) + (t^2)/(4 !) - (t^3)/(6 !) na integral int_0^1 c o s sqrt(t) d t .

Passo 1

Fala, pessoal! Nessa questão, precisamos assumir que a série é dada por 1 - (t^4)/(2) + (t^8)/(4 !) e, a partir disso, estimar o erro. Mas, o primeiro termo que a gente negligencia é justamente o que nos dá esse erro. Nesse caso, como

c o s x = 1 - (x^2)/(2 !) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + * * * + ( - 1 )^n (x^(2 n))/(( 2 n ) !) + * * *

então, trocando x por sqrt(t) , ficamos

c o s t^2 = 1 - (t)/(2 !) + (t^2)/(4 !) - (t^3)/(6 !) + * * * + ( - 1 )^n (t^n)/(( 2 n ) !) + * * *

Passo 2

Olhando para a série geral de c o s sqrt(t) e a série dada no enunciado, dá pra identificar que o termo omitido é

(t^3)/(6 !)

Então, como esse termo seria integrado de 0 a 1 , precisamos fazer essa integração para encontrar o erro

int_0^1 (t^3)/(6 !) d t = (t^4)/(4 * 6 !) |_0^1 = (1^4)/(4 * 6 !)

int_0^1 (t^3)/(6 !) d t = (1^())/(2880) tildetilde 0,00035

Esse é o nosso erro. Gostou? Responde Aí!

Resposta

0,00035

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