Estime o erro se cos t^2 é aproximado por 1 - t^4 / 2 + t^8 / 4! na integral ∫ 0 1 c o s   t 2 d t .

Passo 1

Fala, pessoal! Essa questão é um pouco diferente do que a gente vinha fazendo. Agora, precisamos assumir que a série é dada por 1 - t 4 2 + t 8 4 ! e estimar o erro. Mas, o primeiro termo que a gente negligencia é o que nos dá o erro. Nesse caso, como

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

então, trocando x por t 2 , ficamos

c o s   t 2 = 1 - t 4 2 ! + t 8 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 4 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Olhando para a série geral de c o s   t 2 e a série dada no enunciado, vemos que o próximo termo seria

t 12 6 !

Então, como esse termo seria integrado de 0 a 1 , precisamos fazer essa integração para encontrar o erro

∫ 0 1 t 12 6 ! d t = t 13 13 ⋅ 6 ! | 0 1 = 1 13 13 ⋅ 6 !

∫ 0 1 t 12 6 ! d t = 1 9360 ≈ 0,00011

Esse é o nosso erro. Eu vou ficando por aqui, nos vemos na próxima!

Resposta

0,00011

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