Utilize as etapas a seguir para provar a Equação 1.a. Derive a série f ( x ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k para mostrar que f ' ( x ) = m f ( x ) 1 + x ,- 1x1 b. Defina g ( x ) = ( 1 + x ) - m f ( x ) e mostre que g ' ( x ) = 0 .c. A partir do item (b), mostre que f ( x ) = ( 1 + x ) m

Enunciado

Fala, galera! Mais uma questão para a gente detonar. Então, vamos nessa!

a. O enunciado pede para a gente usar o seguinte resultado

e derivar para encontrar

Então, vamos derivar com relação a em ambos os lados

O somatório parece muito com o que temos para . Para ficar mais parecido ainda, vamos fazer . Então, e, quando e quando . Assim, o somatório fica

Também temos que notar que o primeiro termo do somatório é igual . Agora, podemos trocar o índice por no somatório, sem nenhum problema

Agora, como o termo no somatório parece bastante com o que a gente tem em , vamos fazer e ver se conseguimos simplificar alguma coisa:

O que temos do lado direito da equação é justamente , se a gente usar a expressão obtida no final do Passo 1. Assim,

b.Tá, agora vamos definir e calcular a sua derivada:

Mas, pelo item (a), nós vimos que . Então

c. Já que , então . Em particular, podemos escolher . Ou seja,

E, com isso, conseguimos mostrar a equação 1. Uhuu! Que orgulho!

Veja a resolução acima.