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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 21

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 19-22 com um erro de magnitude menor que 1 0 - 8

21. ∫ 0 0,1 1 + x 4 d x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo beleza? Então, bora lá para mais uma questão!

Para conseguir os valores aproximados da integral, primeiro temos que encontrar a série que corresponde ao integrando. Daí, integramos e aplicamos os limites de integração, termo a termo, até chegar no primeiro termo menor que 1 0 - 8 = 0,00000001 . Nesse ponto, paramos a integração e somamos todos os termos obtidos até então. Agora que temos o roteiro da resolução, vamos colocar a mão na massa!

Começamos expandindo o integrando 1 + x 4 como uma série. Para isso, temos que lembrar que a série binomial para m = 1 / 2 (Exemplo 2 do livro) é

1 + x = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 -   ⋅ ⋅ ⋅

Beleza, agora para obter 1 + x 4 é só trocar x por x 4 na série acima

1 + x 4 = 1 + x 4 2 - x 8 8 + x 12 16 -   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora que temos a expansão em série do integrando, o próximo passo é fazer a integração:

∫ 0 0,1 1 + x 4 d x =   ∫ 0 0,1 1 + x 4 2 - x 8 8 + x 12 16 -   ⋅ ⋅ ⋅ d x

∫ 0 0,1 1 + x 4 d x =   x + x 5 2 ⋅ 5 - x 9 8 ⋅ 9 + x 13 16 ⋅ 13 -   ⋅ ⋅ ⋅ 0 0,1

Prontinho. Só falta aplicar os limites de integração, mas vamos fazer isso no próximo passo. Se liga aí!

Passo 3

Aplicando os limites de integração, os primeiros termos vão ser

  x 0 0,1 = 0,1

  x 5 2 ⋅ 5 0 0,1 = ( 0,1 ) 5 10 = 0,00001 10 = 0,000001

  - x 9 8 ⋅ 9 0 0,1 = - ( 0,1 ) 9 72 ≈ - 0,000000000014

Como esse último número é menor que 1 0 - 8 , nós paramos por aqui e somamos o que já temos. Assim,

∫ 0 0,1 1 + x 4 d x = 0,1 + 0,000001 - 0,000000000014 = 0,100000999986

Arredondando para a quinta casa decimal, ficamos com

∫ 0 0,1 1 + x 4 d x = 0,10000

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Resposta

0,10000

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