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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 47

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

47. x 3 + x 4 + x 5 + x 6 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Então, bora lá!

Nessa questão, precisamos identificar a série do enunciado de acordo com as que estão na tabela 10.1 e, com isso, calcular a soma da série. Bom, a única série que se aproxima da que foi dada no enunciado é a de 1 1 - x :

1 1   -   x = 1 + x + x 2 +   ⋯   + x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ x n ,   | x | < 1

Passo 2

Assim, subtraindo 1 + x + x 2 dos dois lados, ficamos com

1 1   -   x - ( 1 + x + x 2 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ + x n + ⋯ - ( 1 + x + x 2 )

1   -   ( 1   -   x ) ( 1   +   x   +   x 2 ) 1   -   x = x 3 + x 4 + x 5 + x 6 +   ⋯   + x n +   ⋯

1   -   1   -   x   -   x 2 +   x   +   x 2 +   x 3 1   -   x = x 3 + x 4 + x 5 + x 6 +   ⋯   + x n +   ⋯

  x 3 1   -   x = x 3 + x 4 + x 5 + x 6 +   ⋯   + x n +   ⋯

Logo, a soma da série é   x 3 1   -   x . Te vejo na próxima!

Resposta

  x 3 1   -   x

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