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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 4

Mostre que, para 0 <= x <= 1 :

0 <= e^x - (1 + x + (x^2)/(2)) <= (x^3)/(2)

Passo 1

A série de Taylor para exponenciais é:

e^x = 1 + (x)/(1 !) + (x^2)/(2 !) + (x^3)/(3 !) + ... , - oo < x < oo

Como,

0 <= x <= 1 -> e^x >= 0

Ou seja, o resultado da nossa exponencial sempre é um número positivo.

Passo 2

Agora manipular a equação acima até chegar numa expressão como a do enunciado!

Partindo de,

e^x = 1 + (x)/(1 !) + (x^2)/(2 !) + (x^3)/(3 !)

Podemos isolar a parte (x^3)/(3 !)

e^x – 1 – (x)/(1 !) - (x^2)/(2 !) = (x^3)/(3 !)

Como 0 <= x <= 1 :

e^x – 1 – (x)/(1 !) - (x^2)/(2 !) <= (x^3)/(3 !)

Como (x^3)/(3 !) <= (x^3)/(2) , o sinal de igual deve sumir, pois agora a expressão será sempre menor que (x^3)/(2)

0 < e^x – 1 – (x)/(1 !) - (x^2)/(2 !) < (x^3)/(2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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