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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 1

  1. Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x y e acima do retângulo

    2. R = x , y | 0 ≤ x ≤ 6 ,   0 ≤ y ≤ 4

    Utilize a soma de Riemann com m = 3 , n = 2 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.

  2. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do sólido da parte (a).

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certinho??

Nessa questão vamos estimar o volume de um sólido usando soma de Riemann, com m = 3 e n = 2 .

Relembrando que a soma de Riemann é dada por essa fórmula aqui:

V ≈ S = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f x i j * , y i j * Δ A

A diferença da letra (a) para a letra (b) é o ponto amostral x i j * , y i j * , ou seja, o ponto que vamos calcular para cada Δ A :

Na letra (a), vamos usar o ponto no canto superior direito de cada sub-retângulo.

Na letra (b), vamos usar o ponto no meio de cada sub-retângulo.

Então vamos às contas!

Passo 2

  1. Como vemos na fórmula da soma de Riemann:

    S = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f x i j * , y i j * Δ A

    O valor de m equivale a quantidade de partições que vamos ter em x , e n são as partições em y , então, o nosso domínio vai ser dividido assim:

    Temos que a superfície é o gráfico de f x , y = x y e vamos ter que ∆ A é a área de cada retângulo, então ∆ A = 2 ∙ 2 = 4 , e que m = 3 e n = 2 , então usando a soma de Riemann para estimar o volume temos:

    V ≈ S = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 f x i j , y i j ∆ A

    Onde os pontos ( x i j , y i j ) são os cantos superiores direito de cada sub-retângulo.

    Assim,

    S = f 2,2 ∆ A + f 2,4 ∆ A + f 4,2 ∆ A + f 4,4 ∆ A + f 6,2 ∆ A + f 6,4 ∆ A =

    = f 2,2 + f 2,4 + f 4,2 + f 4,4 + f 6,2 + f 6,4 ∙ Δ A =

    = 2 ∙ 2 + 2 ∙ 4 + 4 ∙ 2 + 4 ∙ 4 + 6 ∙ 2 + 6 ∙ 4 ∙ 4 = 288

    Ou seja,

    V ≈ 288

    Passo 3

Agora para usar a regra do ponto médio, vamos considerar que os pontos amostrais serão: x i j * , y i j * = x i j - , y i j -

V ≈ S = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 f x i j - , y i j - ∆ A

O domínio e as partições que vamos usar são os mesmos, então continuamos com Δ A = 4 .

S = f 1,1 ∆ A + f 1,3 ∆ A + f 3,1 ∆ A + f 3,3 ∆ A + f 5,1 ∆ A + f 5,3 ∆ A =

= f 1,1 + f 1,3 + f 3,1 + f 3,3 + f 5,1 + f 5,3 ∙ ∆ A =

= 1 ∙ 1 + 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 + 3 ∙ 3 + 5 ∙ 1 + 5 ∙ 3 ∙ 4 = 144

Logo,

V ≈ 144

Resposta

  1. V ≈ 288
  2. V ≈ 144
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Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1 + e xs e ny e pelos planos x = ± 1,y = 0,y = π e z = 0 .
Desenhe o sólido que está entre a superfície z = 2 x y x 2 + 1 e o plano z = x + 2 y e é limitado pelos planos x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4 . A seguir, determine seu volume.
Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e pelo plano y = 5 .
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in