1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

4. z = x / (y^2), (-4, 2, -1)

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão, nós temos a equação da superfície

z = x y ²

e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto ( - 4 ,   2 ,   - 1 ) .

Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, y = f ( x ) , ela representa uma curva no R 2 . Dado um ponto dessa curva, y = f x 0 , podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

De forma análoga, dada uma função de duas variáveis z = f x , y , sabemos que ela representa uma superfície em R 3 . Dado um ponto nessa superfície, z = f x 0 , y 0 ,   podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

onde f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 são as derivadas parciais da função no ponto e z 0 = f ( x 0 , y 0 ) .

Agora que sabemos isso, vamos às contas...

Passo 2

Vamos começar calculando f x :

Se z = x / y 2 , então

f x = 1 y 2

No ponto pedido:

f x - 4,2 = 1 2 2 = 1 4

Vamos obter f y :

f y = ∂ ∂ y x y 2

f y = - 2 x y 3

No ponto pedido, - 4,2 ,   temos

f y - 4,2 = - 2 ⋅ - 4 2 3 = 1

Passo 3

Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos z o = - 1 , y o = 2 e x o = - 4 , saca só:

z - - 1 = 1 4 . x + 4 + 1 . ( y - 2 )

z + 1 = x 4 + 1 + y - 2

∴ z = x 4 + y - 2

Que é a equação que queríamos.

Resposta

z = x 4 + y - 2

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