Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 4

1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

4.

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão, nós temos a equação da superfície

e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto .

Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, , ela representa uma curva no . Dado um ponto dessa curva, podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:

De forma análoga, dada uma função de duas variáveis sabemos que ela representa uma superfície em Dado um ponto nessa superfície, podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:

onde e são as derivadas parciais da função no ponto e .

Agora que sabemos isso, vamos às contas...

Passo 2

Vamos começar calculando

Se , então

No ponto pedido:

Vamos obter

No ponto pedido,temos

Passo 3

Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos , e , saca só:

Que é a equação que queríamos.

Resposta

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Determine os planos tangentes ao gráfico de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e que contenham o eixo O x .

β é um plano tangente aos gráficos de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e g x , y = - x 2 - y 2 . Mostre que a 2 + b 2 = 1 , sendo a , b , f a , b o ponto em que β tangencia o gráfico de f .

Considere a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 . Seja α o plano tangente ao gráfico de f no ponto a , b , 1 - a 2 - b 2 , com a0 ,b0 e a 2 + b 21 . Seja V o volume do tetraedro determinado por α e pelos p

Seja z = f x , y diferenciável em ( x 0 , y 0 ) . Seja S a função afim dada por S x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c . Suponha que f x , y = S x , y + E x , y Com lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = x ⋅ s e n x + y ( - 1 ,1 ,0 )