Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 11
Uma estrada tem a configuração da parábola . Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal da aceleração exceder . Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?
Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., a Definição (página ) nos dá as fórmulas aplicadas ao movimento:
é o vetor posição;
é o vetor velocidade;
é o vetor aceleração;
Visto que os vetores velocidade e aceleração terão as formas:
E:
Primeiro precisamos parametrizar o vetor posição para poder encontrar esses dois outros vetores.
Já que o enunciado nos deu a informação sobre a componente normal da aceleração, precisamos determinar o módulo do vetor aceleração e a sua componente tangencial para encontrarmos e comparar os valores dado e calculado da componente normal. Isso pode ser feito através da fórmula:
Ainda, temos algumas fórmulas a serem lembradas como a velocidade escalar:
E a componente tangencial da aceleração:
Que irão nos ajudar com os cálculos.,
Passo 2
Então, primeiro vamos parametrizar o vetor posição, supondo:
E, logo:
Então, teremos o vetor posição:
Tal que o vetor velocidade será a sua respectiva derivada:
Da mesma forma, o vetor aceleração será a derivada do vetor velocidade, ou seja:
Passo 3
Como dito no primeiro passo, a velocidade escalar é dada por:
Então, o módulo do vetor velocidade é:
Logo:
Igualando o denominador:
Temos, então:
Vamos reescrever esse resultado como:
Isso irá nos ajudar ao final do exercício!!
Com a equação da velocidade escalar podemos encontrar a componente tangencial da aceleração com:
Logo:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo do vetor aceleração:
Portanto:
Com isso, podemos verificar o valor da componente normal a partir da fórmula:
Que, substituindo os termos que encontramos, fica como:
Isolando :
Igualando o denominador:
Ou seja:
E, portanto:
Passo 5
Por fim, vamos lembrar que a condição para o caminhão não tombar na estrada é dada por:
Então, teremos:
E, portanto: