Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 12a
Uma partícula se move ao longo de uma curva plana com velocidade escalar constante . No instante ela está na origem e nunca se move à esquerda do eixo . Em cada instante a curvatura da curva é . Se denota o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo positivo dos em cada instante , determine:
explicitamente como função de .
O vetor velocidade .
Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Vamos lembrar um pouco sobre a definição da curvatura de uma curva. Podemos definir ela como a variação da direção da curva ao longo do seu comprimento.
Ainda em um plano bidimensional (como é o caso do nosso exercício já que a curva é plana), a curvatura total pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo em relação à posição , tal que, matematicamente isso é escrito como:
Como a curvatura foi parametrizada em função de , precisamos mudar a variável de integração. Então, podemos fazer:
Lembrando que a derivada da posição em relação ao tempo resulta na velocidade, podemos reescrever a curvatura total:
Passo 2
Além disso, a partícula sai inicialmente da origem e permanece apenas do lado direito do eixo . Isso significa que o ângulo entre o vetor velocidade e o eixo estará limitado ao primeiro quadrante, ou seja, em .
Por conta da variação da curvatura, esse ângulo terá o valor:
Ou seja:
Como queremos deixar o ângulo em função de podemos substituir a integral definida por uma integral indefinida:
Passo 3
Portanto, substituindo os valores da curvatura e da velocidade escalar dados, teremos:
Isso nos dá:
Dessa forma, o ângulo é: