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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 2

Calcule o volume do elipsoide

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) <= 1

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla, que nos da o volume do sólido, usando uma transformação para coordenadas esféricas e calculando o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = a * rho * sin varphi * cos theta

y = b * rho * sin varphi * sin theta

z = c * rho * cos varphi

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = a * b * c * rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi . Os novos intervalos de integração serão

0 <= rho <= 1

0 <= theta <= 2 * pi

0 <= varphi <= pi

Substituindo na integral, ficamos com

int int int_B d x * d y * d z = a * b * c * int_0^(pi) int_0^(2 * pi) int_0^1 sin varphi * rho^2 * d rho * d theta * d varphi =

= int_0^(pi) sin varphi * d varphi * int_0^(2 * pi) d theta * int_0^1 rho^2 * d rho = a * b * c * [- cos varphi]_0^(pi) * [(rho^3)/(3)]_0^1 * 2 * pi =

= (4 * a * b * c * pi)/(3)

Resposta

int int int_B d x * d y * d z = (4 * a * b * c * pi)/(3)

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