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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 2c

2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.

c) f x , y = x 3 + x - y 2 , nem máximo, nem mínimo

Passo 1

Bom, para estudar a natureza dos pontos críticos, primeiro vamos encontrá-los. Para encontrá-los precisamos resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 2 x - y = 0 ∂ f ∂ y = - 2 ( x - y ) = 0  

Da segunda equação temos que:

∂ f ∂ y = 0 ↔ y = x

Daí, substituindo na primeira, temos que:

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 2 x - x = 3 x 2 = 0 ↔ x = 0

Sabendo disso, nosso único ponto crítico é ( 0,0 ) . Agora vamos calcular sua imagem.

f x , y = x 3 + x - y 2 → f 0,0 = 0

Como x 3 é uma função que pode ser decrescente se x < 0 e x - y 2 é sempre crescente, temos que f pode tanto tender a + ∞ quanto pode tender a - ∞ . Desta forma não pode assumir nem máximo nem mínimo.

Resposta

Verificação acima.

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