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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1l

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 5 + y 5 - 5 x - 5 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   5 x 4 - 5 = 0                                         ∂ f ∂ y = 5 y 4 - 5 = 0

∂ f ∂ x =   x 4 = 1                                         ∂ f ∂ y = y 4 = 1

1,1 , - 1 , - 1 , 1 , - 1 , - 1 , 1   s ã o   p o n t o s   c r í t i c o s

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 5 + y 5 - 5 x - 5 y

∂ f ∂ x =   5 x 4 - 5                                         ∂ f ∂ y = 5 y 4 - 5                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 0        

∂ 2 f ∂ x 2 = 20 x 3                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 20 y 3

H x , y = 20 x 3 0 0 20 y 3 = 400 x 3 y 3 = >

H 1,1 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   m í n i m o

H - 1 , - 1 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ∴ p o n t o   m á x i m o

H 1 , - 1 < 0 ∴ p o n t o   d e   s e l a

H - 1,1 < 0 ∴ p o n t o   d e   s e l a

Resposta

H 1,1 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   m í n i m o

H - 1 , - 1 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ∴ p o n t o   m á x i m o

H 1 , - 1 < 0 ∴ p o n t o   d e   s e l a

H - 1,1 < 0 ∴ p o n t o   d e   s e l a

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e