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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 15 c

Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y ,   z =

c) x 3 + 2 x y + y 2 + z 2 - 5 x - 4 z

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos primeiro. Vamos derivar a função,

∂ f ∂ x x , y = 3 x 2 + 2 y - 5  

∂ f ∂ y x , y = 2 y + 2 x

∂ f ∂ z x , y = 2 z - 4

Encontrando o número crítico,

∂ f ∂ x x , y = 0 =   ∂ f ∂ y x , y = ∂ f ∂ z x , y

Temos que

3   x 2 + 2 y - 5 = 0   2 y + 2 x = 0 2 z - 4 =   0  

Do sistema, temos:

z = 2 2 y = - 2 x 3 x 2 + 1 - 2 x - 5 = 0   3 x 2 + 2 x - 4 = 0 x = - 2 ± 13 6 x 1 = - 2 +   2 13 6   e   x 2 = - 2 - 2 13 6

Nosso candidato a numero critico é o ponto   ( - 2 + 2 13 6 ,   - 2 + 2 13 12 ,   2 )

Passo 2

Vamos analisar se ele é mínimo ou máximo. Precisamos encontrar as derivadas que precisamos para completar as hessianas. Ou seja,

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 6 x

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 2

∂ 2 f ∂ z 2 x , y = 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y   x , y = 2

∂ 2 f ∂ x ∂ z   x , y = 0

∂ 2 f ∂ y ∂ z   x , y = 0

Passo 3

Substituindo nas hessianas,

H = - 2 + 2 13 2 0 2 2 0 0 0 2 = 4 - 2 + 2 13 - 8

H =   - 16 + 8 13 > 0

E,

H 1 = - 2 + 2 13 2 2 2 = 4 - 2 + 2 13 - 4 H 1 =   - 4 + 13 > 0

Pelas hipóteses da questão, temos que ( - 2 + 2 13 6 ,   - 2 + 2 13 12 ,   2 ) temos um ponto de mínimo.

Resposta

( - 2 + 2 13 6 ,   - 2 + 2 13 12 ,   2 ) é um ponto de mínimo e ( 2 + 2 13 6 ,   2 + 2 13 12 ,   2 ) é um ponto de máximo.

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f x , y = ( x - y ) ( 1 - x y )
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f x , y = x y( 1 - x - y )
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f x , y = x e - 2 x 2 - 2 y 2
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f x , y = y 3 + 3 x 2 y - 6 x 2 - 6 y 2 + 2
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D . f x , y = x + y - x y , D é a região triangular fechada com vértices ( 0 ,0 ) , ( 0 ,2 ) e ( 4 ,0 ) .