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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1e

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 3 - 3 x 2 y + 27 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   3 x 2 - 6 x y = 0                                       ∂ f ∂ y = - 3 x 2 + 27 = 0

∂ f ∂ x =   3 x x - 2 y = 0                                   ∂ f ∂ y = x 2 = 9  

∂ f ∂ x =   y = x 2 ,   x ≠ 0                             ∂ f ∂ y = x = ± 3

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

2 y = ± 3

y = ± 3 2

3 , 3 2 , - 3 , - 3 2 s ã o   p o n t o s   c r í t i c o s

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 3 - 3 x 2 y + 27 y

∂ f ∂ x =   3 x 2 - 6 x y                                       ∂ f ∂ y = - 3 x 2 + 27                                       ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = - 6 x    

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x - 6 y                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

H x , y = 6 x - 6 y - 6 x - 6 x 0 = - 36 x 2 < 0 ∴ p o n t o   d e   s e l a .

Resposta

3 , 3 2 , - 3 , - 3 2   s ã o   p o n t o s   d e   s e l a .

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