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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1h

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x = 4 x 3 - 4 x = 0                                   ∂ f ∂ y = 4 y 3 - 4 y = 0  

∂ f ∂ x = 4 x x 2 - 1 = 0                                   ∂ f ∂ y = 4 y y 2 - 1 = 0      

x 1 = 0 , x 2 = 1 , x 3 = - 1                                   y 1 = 0 , y 2 = 1 , y 3 = - 1

0,0 , 0,1 , 0 , - 1 , 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1 , 1 , - 1,0 , - 1 , - 1 s ã o   p o n t o s   c r í t i c o s

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2

∂ f ∂ x = 4 x 3 - 4 x                                     ∂ f ∂ y = 4 y 3 - 4 y                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 0      

∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2 - 4                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y 2 - 4

H x , y = 12 x 2 - 4 0 0 12 y 2 - 4 = >

H 0,0 = 16 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   ∴ p o n t o   m á x i m o

H 0,1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H 0 , - 1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H 1 , 0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

H 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

H - 1,0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H - 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

H - 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

Resposta

H 0,0 = 16 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   ∴ p o n t o   m á x i m o

H 0,1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H 0 , - 1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H 1 , 0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

H 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

H - 1,0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o   d e   s e l a

H - 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

H - 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ p o n t o   m í n i m o

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Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente. f x , y = sen ⁡ x
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