1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y) = x^4 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 Passo 1 Primeiro, veremos quais são os pontos críticos. ∂ f ∂ x = 4 x 3 - 4 x = 0 ∂ f ∂ y = 4 y 3 - 4 y = 0 ∂ f ∂ x = 4 x x 2 - 1 = 0 ∂ f ∂ y = 4 y y 2 - 1 = 0 x 1 = 0 , x 2 = 1 , x 3 = - 1 y 1 = 0 , y 2 = 1 , y 3 = - 1 0,0 , 0,1 , 0 , - 1 , 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1 , 1 , - 1,0 , - 1 , - 1 s ã o p o n t o s c r í t i c o s ã í Passo 2 Hessiano de f, H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y , s e H x , y = 0 , n a d a s e p o d e a f i r m a r . s e H x , y < 0 , p o n t o d e s e l a . s e H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , m í n i m o l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 , m á x i m o l o c a l í á Calculando, f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ∂ f ∂ x = 4 x 3 - 4 x ∂ f ∂ y = 4 y 3 - 4 y ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 0 ∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2 - 4 ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y 2 - 4 H x , y = 12 x 2 - 4 0 0 12 y 2 - 4 = > H 0,0 = 16 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 , ∴ p o n t o m á x i m o á H 0,1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H 0 , - 1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H 1 , 0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í H 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í H - 1,0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H - 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í H - 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í Resposta H 0,0 = 16 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 , ∴ p o n t o m á x i m o á H 0,1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H 0 , - 1 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H 1 , 0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í H 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í H - 1,0 = - 32 < 0 , ∴ p o n t o d e s e l a H - 1,1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í H - 1 , - 1 = 64 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , ∴ p o n t o m í n i m o í MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUtilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente.f(x, y) = sen(x) + Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifiquUtilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente.f(x, y) = x^2 + y^2Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para determinar esses valores de modo preciso.f(x, y) = sUtilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifiquVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 VariáveisVer exercício 16.3 - 1bVer exercício 16.3 - 1e