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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1c

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 3 + 2 x y   +   y 2 - 5 x .

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   3 x 2 + 2 y - 5   = 0                                     ∂ f ∂ y = 2 x + 2 y = 0  

∂ f ∂ x =   y = - 3 2 x 2 + 5 2                                     ∂ f ∂ y = y = - x    

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- 3 2 x 2 + 5 2 = - x

- 3 2 x 2 + x + 5 2 = 0

x ' ≅   - 1       x " ≅ 5 / 3                        

Fórmula quadrática (Báskara),

- b ± b 2 - 4 a c 2 a

- - 1 ± 1 + 15 3 = > x " = 5 / 3   x ' = - - 1 + 4 3 = - 1

y = - x    

y = - - 1 = 1    

y = - 5 3

- 1 , 1 , 5 3 , - 5 3 s ã o   p o n t o s   c r í t i c o s

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 3 + 2 x y   +   y 2 - 5 x .

∂ f ∂ x =   3 x 2 + 2 y - 5                                         ∂ f ∂ y = 2 x + 2 y                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 2        

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 2

H x , y = 6 x 2 2 2 = 12 x - 4 =   - 16 < 0 ,   s e   x = - 1 ,   p o n t o   d e   s e l a . 16 > 0 ,   s e   x = 5 3 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   p o n t o   m í n i m o .

Resposta

- 1,1   s e l a .

5 3 , - 5 3 é mínimo local.

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