No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ xs e n ( ω t - λ x ) onde ω = 2 π / 365 e λ é uma constante positiva.(a) Determine ∂ T / ∂ x . Qual seu significado físico?

∂ T ∂ x = - T 1 λ e - λ x cos ⁡ ω t - λ x + s e n ω t - λ x

Enunciado

Show de bola, galera.

Nessa questão nós temos uma função , que dá a temperatura no instante a uma profundidade . No item (a), queremos calcular a seguinte derivada:

e dizer qual é o seu significado físico.

Vamos primeiro calcular a derivada e depois interpretar o resultado, ok?

Vem comigo!

Vamos ser bem objetivos nessa questão.

A derivada que queremos é:

Temos duas funções que se multiplicam e dependem de , a saber, e .

Então, nessa derivada vamos usar a regra do produto: se

então

Além disso, para derivar o seno vamos precisar usar a regra da cadeia, ou seja,

Por isso:

Agora vamos organizar esse negócião

Seu significado físico é o quanto a temperatura varia em função da profundidade! Isso também pode ser interpretado como o gradiente de temperatura.

Lembre-se que

Lembrando que a temperatura só depende de , nesse caso: