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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 96a

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função

T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ x   s e n ( ω t - λ x )

onde ω = 2 π / 365 e λ é uma constante positiva.

(a) Determine ∂ T / ∂ x . Qual seu significado físico?

Passo 1

Show de bola, galera.

Nessa questão nós temos uma função T ( x , t ) , que dá a temperatura no instante t a uma profundidade x . No item (a), queremos calcular a seguinte derivada:

∂ T ∂ x ( x , t )

e dizer qual é o seu significado físico.

Vamos primeiro calcular a derivada e depois interpretar o resultado, ok?

Vem comigo!

Passo 2

Vamos ser bem objetivos nessa questão.

A derivada que queremos é:

∂ T ∂ x = ∂ ∂ x T 0 + T 1 e - λ x   s e n ω t - λ x

Temos duas funções que se multiplicam e dependem de x , a saber, e - λ x e sen ⁡ ω t - λ x .

Então, nessa derivada vamos usar a regra do produto: se

h x = f x g ( x )

então

h ' x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Além disso, para derivar o seno vamos precisar usar a regra da cadeia, ou seja,

∂ ∂ x sen ⁡ ω t - λ x = cos ⁡ ω t - λ x d d x ω t - λ x

∂ ∂ x sen ⁡ ω t - λ x = - λ   cos ⁡ ω t - λ x

Por isso:

∂ T ∂ x = T 1 - λ e - λ x s e n ω t - λ x + e - λ x - λ cos ⁡ ω t - λ x

Agora vamos organizar esse negócião

∂ T ∂ x = - T 1 λ e - λ x cos ⁡ ω t - λ x + s e n ω t - λ x

Seu significado físico é o quanto a temperatura varia em função da profundidade! Isso também pode ser interpretado como o gradiente de temperatura.

Lembre-se que

∇ T = ∂ T ∂ x ,   ∂ T ∂ y , ∂ T ∂ z  

Lembrando que a temperatura só depende de x , nesse caso:

∇ T = ∂ T ∂ x   x ^

Resposta

∂ T ∂ x = - T 1 λ e - λ x cos ⁡ ω t - λ x + s e n ω t - λ x

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