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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 96b

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função

T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ x   s e n ( ω t - λ x )

onde ω = 2 π / 365 e λ é uma constante positiva.

(b) Determine ∂ T / ∂ t . Qual seu significado físico?

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função T que descreve a temperatura do dependendo do tempo e da profundidade t , x e pede que encontremos e expliquemos ∂ T / ∂ t . Vamos encontrar a expressão usando o esquema padrão para encontrar derivadas parciais (fixando as demais variáveis não envolvidas na derivada) e depois associaremos ela ao fenômeno físico.

Passo 2

Temos a função T , se tratarmos x como constante teremos:

T ( t ) = T 0 + T 1 e - λ x   s e n ( ω t - λ x )

Observe que todos os termos exceto a função seno são constantes, dessa forma:

∂ T ∂ t = T 1 ω ⅇ - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Passo 3

Obviamente podemos dizer que seu significado físico é o de ser a taxa de variação de temperatura ao longo do tempo, mas o que isso significa e como essa equação nos diz isso?

De forma simplificada, sabemos que essa taxa de variação é a tendência da temperatura de aumentar ou diminuir com o tempo: Se o valor for positivo a temperatura está aumentando, e o contrário caso seja negativo.

Além disso, podemos inferir alguns dados com essa equação: Supondo que estamos na superfície do gelo ( x = 0 ) podemos ver pelo comportamento do cosseno que a temperatura aumenta até metade do ano e diminui da metade até o fim do ano.

Resposta

∂ T ∂ t = T 1 ω ⅇ - λ x cos ⁡ ω t - λ x

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