Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 96b
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura no instante (medido em dias) a uma profundidade (medida em pés) pode ser modelada pela função
onde e é uma constante positiva.
(b) Determine . Qual seu significado físico?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos dá uma função que descreve a temperatura do dependendo do tempo e da profundidade e pede que encontremos e expliquemos . Vamos encontrar a expressão usando o esquema padrão para encontrar derivadas parciais (fixando as demais variáveis não envolvidas na derivada) e depois associaremos ela ao fenômeno físico.
Passo 2
Temos a função , se tratarmos como constante teremos:
Observe que todos os termos exceto a função seno são constantes, dessa forma:
Passo 3
Obviamente podemos dizer que seu significado físico é o de ser a taxa de variação de temperatura ao longo do tempo, mas o que isso significa e como essa equação nos diz isso?
De forma simplificada, sabemos que essa taxa de variação é a tendência da temperatura de aumentar ou diminuir com o tempo: Se o valor for positivo a temperatura está aumentando, e o contrário caso seja negativo.
Além disso, podemos inferir alguns dados com essa equação: Supondo que estamos na superfície do gelo () podemos ver pelo comportamento do cosseno que a temperatura aumenta até metade do ano e diminui da metade até o fim do ano.