Dê um zoom em direção aos pontos (1,0), (0,1) e (-1,0) sobre o gráfico da função g(x) = (x^2 - 1)^(2/3) . O que você observa? Explique o que você viu em termos da diferenciabilidade de g .

Passo 1

E aí, tudo bem?! Temos a função:

g x = x 2 - 1 2 3

Aqui a gente precisa plotar esse gráfico e depois dar um zoom em direção as pontos 1,0 ,   0,1 e ( - 1,0 ) . Depois temos que analisar esses pontos, compara-los e no final dar o nosso veredito sobre a diferenciabilidade de g !

Aqui a gente não precisa esboçar na mão! No livro tem uma figurinha rosinha do lado desse enunciado. Isso significa que ele espera que você plote o gráfico com o auxílio de um software, que pode ser um programa ou um site!

Pra uma função ser diferenciável em um ponto g x deve ser contínua nesse ponto, mas quando a curva tem uma mudança abrupta, como uma “quina” ou uma “dobra” , ou então um ponto de inflexão, ela não vai ser derivável!

Agora vamos ao que interessa, mãos à obra!

Passo 2

Plotando o gráfico:

Agora o zoom nos pontos 1,0 ,   0,1 e ( - 1,0 ) :

A gente pode observar que para x < - 1   a função é decrescente. Em ( - 1,0 ) ela passa a ser crescente, passa por um ponto de máximo em 0,1 , volta a ser decrescente e em 1,0 passa a ser crescente de novo!

Muitas mudanças de inclinação! Mas repara que em x = 0 essa mudança acontece de uma forma suave, poderíamos passar uma reta tangente nesse ponto e ela seria horizontal. Certo?!

Só que em x = - 1 e x = 1 isso acontece de forma abrupta e se passássemos uma reta tangente nesses pontos teríamos tangentes horizontais.

E qual é a inclinação de uma reta vertical?!

Seria infinito, certo?! Se não é um número então dizemos que a função não é diferenciável nesses pontos!

Beleza, mas esses são os únicos pontos “problemáticos�� da função, certo?!

Então, podemos dizer que a função é derivável, exceto nos pontos 0 , - 1 e 0,1 !

Resposta

Esboço do gráfico e desenvolvimento.

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