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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 38

Os valores da função f ( x ) foram obtidos experimentalmente. Com a hipótese de que f é contínua em [0, 4], aproxime ∫ 0 4 f x   d x por (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson.

Passo 1

Esse é um clássico exemplo de aplicação de fórmula, mas não esqueça que é importante saber o significado e também como ocorre o desenvolvimento dessa fórmula. A regra do trapézio diz que:

∫ a b f x   d x ≅ b - a 2 n [ f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f ( x n ) ]

E é importante lembrar que Δ x = b - a n . Observando a tabela, os valores de x variam igualmente em tamanhos de 0,4. Substituindo na fórmula com os valores da tabela:

∫ 0 4 f x   d x ≅ 0,40 2 [ 8,4 + 2 8,1 + 2 7,9 + 2 7,5 + 2 7,6 + 2 7,2 + 2 6,8 + 2 6,3 + 2 6,6 + 2 ( 6,0 ) + 5,7 ]

∫ 0 4 f x   d x ≅ 0,2 [ 8,4 + 16,2 + 15,8 + 15 + 15,2 + 14,4 + 13,6 + 12,6 + 13,2 + 12 + 5,7 ]

∫ 0 4 f x   d x ≅ 0,2 142,1 = 28,42

Passo 2

Para a regra de Simpson é a mesma receita. Considerando Δ x = b - a n = 0,4 podemos substituir diretamente os valores na fórmula para obter o resultado da questão

∫ a b f x   d x ≅ b - a 3 n [ f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f ( x n )

∫ 0 4 f x   d x ≅ 0,4 3 [ 8,4 + 4 8,1 + 2 7,9 + 4 7,5 + 2 7,6 + 4 7,2 + 2 6,8 + 4 6,3 + 2 6,6 + 4 ( 6,0 ) + 5,7 ]

∫ 0 4 f x   d x ≅ 0,4 3 [ 8,4 + 32,4 + 15,8 + 3 0 + 15,2 + 28,8 + 13,6 + 25,2 + 13,2 + 24 + 5,7 ]

∫ 0 4 f x   d x ≅ 0,40 3 212,3 = 28,31

Resposta

  1. 28,42
  2. 28,31
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