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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 41

Uma mulher levou 10 min para dirigir de sua casa ao supermercado. A cada intervalo de 1 min ela olhava o velocimetro, e suas leituras são dadas na tabela a seguir, onde v(t) quilômetros por hora foi a leitura t min depois que ela saiu de casa. Use a regra de Simpson par aproximar a distância da casa da até o supermercado.

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos primeiro lembrar-nos que a distancia percorrida é igual a integral da velocidade, de forma que:

Δ S = ∫ a b v t   d t

Então para sabermos o valor da distancia entre a casa dela e o supermercado, basta aproximarmos a integral a direita a partir da fórmula de Simpson:

∫ a b f x   d x ≅ b - a 2 n [ f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f ( x n ) ]

E é importante lembrar que Δ x = b - a n . Observando a tabela, os valores de x variam igualmente em tamanhos de 0,4. Substituindo na fórmula com os valores da tabela:

Passo 2

Considerando que os intervalos de tempo que foram medidos são regulares e têm valor Δ x = b - a n = 1 m i n = 1 / 60 h o r a s podemos substituir diretamente os valores na fórmula para obter o resultado da questão

∫ a b f x   d x ≅ b - a 3 n [ f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f ( x n )

∫ 0 4 f x   d x ≅ 1 60 × 1 3 [ 0 + 4 30 + 2 33 + 4 41 + 2 38 + 4 32 + 2 42 + 4 45 + 2 ( 41 ) + 4 37 + 22 ]

∫ 0 4 f x   d x ≅ 1 180 [ 120 + 66 + 164 + 76 + 128 + 84 + 180 + 82 + 148 + 22 ]

∫ 0 4 f x   d x ≅ 1 180 1070 = 5,94 k m

Resposta

Δ S = 5,94 k m

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Calcule a integral definida por dois métodos: a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ; b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo ∫ - 1 5 x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x
Suponha que f seja uma função continua no intervalo fechado a , b . Sejam T e S os valores aproximados de ∫ a b f x d x pelas regras do trapézio e de Simpson, respectivamente, usando para ambas a mesm
Aplique a regra de Simpson para a integral definida ∫ a b f x d x , onde f x é um polinômio de terceiro grau, para provar a fórmula prismoidal ∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b
Considere a função f(x) dada pela tabela: A) Avalie: Usando a fórmula 1 3 de Simpson.
Em contraste com o exercício anterior, considere:Usando a regra de Simpson sobre N intervalos obteve-se a tabela:Explique a diferença entre estes resultados e os do exercício anterior.