Calcular a área da região sob o gráfico y = 1 / (x^2 + 2x + 5), de x = -2 até x = 2 .

Passo 1

A área pedida é a da figura aqui:

Passo 2

Pra calcular a área aqui é só a gente resolver a integral:

int_(- 2)^2 (1)/(x^2 + 2 x + 5) d x

A gente pode fatorar o denominador da fração, nesse caso a gente vai ter que completar o quadrado. Vai ficar assim:

int_(- 2)^2 (1)/((x - 1)^2 + 4) d x

Essa integral é a direta da arcotangente. Nesse caso:

[(1)/(2) a r c t g (x + 1)/(2)]_(- 2)^2

Passo 3

Agora a gente aplica os limites de integração:

(1)/(2) a r c t g (3)/(2) - (1)/(2) a r c t g - (1)/(2)

= (1)/(2) (a r c g t (3)/(2) - a r c t g (- (1)/(2))) u . a

Essa é a área procurada😉

Resposta

= (1)/(2) (a r c g t (3)/(2) - a r c t g (- (1)/(2))) u . a

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