Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 3 + 9 x

Passo 1

A gente pode reescrever assim:

∫ d x x x 2 + 9

Essa a gente vai resolver por frações parciais.

Temos um termo linear e um quadrático irredutível, então reescrevemos assim:

1 x x 2 + 9 = A x + B x + C x 2 + 9

Vamos encontrar A ,   B   e   C agora...

Passo 2

Vai ficar assim:

1 x x 2 + 9 = A x 2 + 9 x + B x + C x x 2 + 9

Agora a gente elimina os denominadores...

1 = A x 2 + 9 + B x + C x

1 = A x 2 + 9 A + B x 2 + C x

1 = x 2 A + B + x C + 9 A

Ok, pra isso aqui ser uma igualdade verdadeira, a gente precisa que:

A + B = 0

C = 0

9 A = 1

Daqui a gente tira que:

A = 1 9 ; e   B = - 1 9 ; C = 0

Ou seja:

1 x x 2 + 9 = 1 9 x + - 1 x 9 ( x 2 + 9 )

Passo 3

A gente monta a integral novinha agora:

∫ 1 9 x + - 1 x 9 ( x 2 + 9 ) d x

Aí a gente separa:

1 9 ∫ 1 x d x - 1 9 ∫ x x 2 + 9 d x

Integramos agora:

1 9 ln ⁡ x - 1 9 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 + C

1 9 ln ⁡ | x | - 1 18 ln ⁡ x 2 + 9 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Ah, não esquece de somar a constante tá?!

Resposta

1 9 ln ⁡ | x | - 1 18 ln ⁡ x 2 + 9 + C

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