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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 17

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x^3 + 9 x)

Passo 1

A gente pode reescrever assim:

int (d x)/(x (x^2 + 9))

Essa a gente vai resolver por frações parciais.

Temos um termo linear e um quadrático irredutível, então reescrevemos assim:

(1)/(x (x^2 + 9)) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 9)

Vamos encontrar A , B e C agora...

Passo 2

Vai ficar assim:

(1)/((x) (x^2 + 9)) = (A (x^2 + 9))/(x) + ((B x + C) x)/(x^2 + 9)

Agora a gente elimina os denominadores...

1 = A (x^2 + 9) + (B x + C) x

1 = A x^2 + 9 A + B x^2 + C x

1 = x^2 (A + B) + x (C) + 9 A

Ok, pra isso aqui ser uma igualdade verdadeira, a gente precisa que:

A + B = 0

C = 0

9 A = 1

Daqui a gente tira que:

A = (1)/(9) ; e B = - (1)/(9) ; C = 0

Ou seja:

(1)/(x (x^2 + 9)) = (1)/(9 x) + (- 1 x)/(9 ( x^2 + 9 ))

Passo 3

A gente monta a integral novinha agora:

int (1)/(9 x) + (- 1 x)/(9 ( x^2 + 9 )) d x

Aí a gente separa:

(1)/(9) int (1)/(x) d x - (1)/(9) int (x)/(x^2 + 9) d x

Integramos agora:

(1)/(9) (ln |x|) - (1)/(9) ((1)/(2)) (ln (x^2 + 9)) + C

(1)/(9) ln | x | - (1)/(18) ln (x^2 + 9) + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Ah, não esquece de somar a constante tá?!

Resposta

(1)/(9) ln | x | - (1)/(18) ln (x^2 + 9) + C

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